Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD . Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 - Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có AB⊥CDAB⊥CD và AC⊥BDAC⊥BD thì AD⊥BCAD⊥BC.
Vẽ AH⊥(BCD)AH⊥(BCD) tại H, ta có CD⊥AHCD⊥AH và vì CD⊥ABCD⊥AB ta suy ra CD⊥BHCD⊥BH. Tương tự vì BD⊥ACBD⊥AC ta suy ra BD⊥CHBD⊥CH
Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH⊥BCDH⊥BC
Vì AH⊥BCAH⊥BC nên ta suy ra BC⊥ADBC⊥AD
Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:
Advertisements (Quảng cáo)
→AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0−−→AB.−−→CD+−−→AC.−−→DB+−−→AD.−−→BC=0 với bốn điểm A, B, C, D bất kì.
Thực vậy , ta có:
→AB.→CD=→AB.(→AD−→AC)=→AB.→AD−→AC.→AB(1)→AC.→DB=→AC.(→AB−→AD)=→AC.→AB−→AC.→AD(2)→AD.→BC=→AD.(→AC−→AB)=→AD.→AC−→AD.→AB(3)
(1)+(2)+(3)⇔→AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0(4)
Do đó nếu AB⊥CD nghĩa là →AB.→CD=0, AC⊥BD nghĩa là →AC.→BD=0
Từ hệ thức (4) ta suy ra →AD.→BC=0, do đó AD⊥BC.