Bài 3.31 trang 153 Sách bài tập Hình học 11: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông...

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, $\left( \alpha  \right)$ cắt SC tại I.

a) Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và $B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)$.

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ với cạnh SC. Ta có $\left( \alpha  \right) \bot SC,AI \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow SC \bot AI$. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và $AI \subset \left( \alpha  \right)$, nên K là giao điểm của SO với $\left( \alpha  \right)$.

b) Ta có

$\left. \matrix{ B{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr B{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)$ 

$\Rightarrow B{\rm{D}} \bot SC$

Mặt khác $B{\rm{D}} \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)$ nên $\left( {SB{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

Vì $B{\rm{D}} \bot SC$ và $\left( \alpha  \right) \bot SC$ nhưng BD không chứa trong $\left( \alpha  \right)$ nên $B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)$

Ta có $K = SO \cap \left( \alpha  \right)$ và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của $\left( \alpha  \right)$ và (SBD). Mặt phẳng (SBD) chứa $B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha  \right)$ nên cắt  theo giao tuyến $d\parallel B{\rm{D}}$. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của $\left( \alpha  \right)$ và (SBD). Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.