Bài 1.12 trang 21 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC có $\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}$ và $a = BC = 12\;cm$...

Cho tam giác ABC có $\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}$ và $a = BC = 12\;cm$.

a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}ab.\sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC\;$cho bởi công thức $S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Sử dụng công thức: $\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]$

a) Theo định lý sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}$ thay vào $S = \frac{1}{2}ab.\sin C$ ta có:

$S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}$ (đpcm)

b) Ta có: $\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}$

$S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3$