Bài 1.11 trang 21 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Chứng minh đẳng thức sau...

Chứng minh đẳng thức sau:

$\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a$

Sử dụng công thức cộng: $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

$\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\;$

Và ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1$

Ta có: $\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \left( {\sin a\cos b + \cos a\sin b} \right).\left( {\sin a\cos b - \cos a\sin b} \right)$

$= {\left( {\sin a\cos b} \right)^2} - {\left( {\cos a\sin b} \right)^2} = {\sin ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right){\sin ^2}b$

${\sin ^2}a - {\sin ^2}b = {\cos ^2}b\left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - {\cos ^2}a\left( {1 - {{\cos }^2}b} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\;$ (đpcm)