Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + \ldots + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng
A. 1
B. 2
C. -1
D. 0
Thu gọn tử thức theo công thức tính tổng của CSN
Advertisements (Quảng cáo)
Sử dụng công thức: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{a^n}}} = 0\)
Ta có: \(2 + {2^2} + ... + {2^n}\) là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là \({u_1} = 2,q = 2\)
Do đó, \(2 + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2.(1 - {2^n})}}{{1 - 2}} = - 2(1 - {2^n})\)
Khi đó, \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}} = \frac{{ - 2(1 - {2^n})}}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 2\)
Đáp án: B.