Bài 5.26 trang 124 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Tìm giới hạn của các dãy số sau...

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}$;

b) ${v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}$;

c) ${w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}$

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

a) $\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}$

b,

$\begin{array}{l}{v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\end{array}$

Vì $\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}$ là cấp số nhân có $\left( {n + 1} \right)$ số hạng với ${u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Do đó:

$\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$

Vì $\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}$ là cấp số nhân có $\left( {n + 1} \right)$ số hạng với ${u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{5}{6}$. Do đó:

$\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}} = 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}$

Vậy ${v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8$.

c, Ta có:

$0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}$

Mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0$ nên theo nguyên lý kẹp $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0$