Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)
a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bạc cao nhất.
b, Nhân với biểu thức liên hợp \(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\).
a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)
Ta có: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0\)
Suy ra \({u_n}\; = + \infty \)
b) \({v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\; = \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; = + \infty \)