Bài 7.17 trang 53 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương...

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC′A′) $\bot$ (BDD′B′).

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat {COC’}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C’]. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C’], [A, BD, C’].

- Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

- Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác AA’C vuông tại A có

$A'{C^2} = A{A’^2} + A{C^2} = {a^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow A’C = a\sqrt 3$

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương bằng $a\sqrt 3$

b) Ta có $\begin{array}{l}BD \bot AC,BD \bot AA’ \Rightarrow BD \bot \left( {ACC’A’} \right);BD \subset \left( {BDD’B’} \right)\\ \Rightarrow \left( {ACC’A’} \right) \bot \left( {BDD’B’} \right)\end{array}$

c) Ta có $C’O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC’A’} \right)} \right),CO \bot BD \Rightarrow \left[ {C,BD,C’} \right] = \left( {CO,C’O} \right) = \widehat {COC’}$

$OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác COC’ vuông tại C có

$\tan \widehat {COC’} = \frac{{CC’}}{{OC}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {COC’} = \arctan \sqrt 2$

Ta có $C’O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC’A’} \right)} \right),AO \bot BD \Rightarrow \left[ {A,BD,C’} \right] = \left( {AO,C’O} \right) = \widehat {AOC’}$

$\widehat {AOC’} = {180^0} - \widehat {COC’} \approx 125,{26^0}$