Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D’AC) và (BC’A’) song song với nhau và DB’ vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB’ với (D’AC),(BC’A’). Tính d((D’AC), (BC’A’)).
- Hai mặt phẳng song song nếu 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
a) AC // A’C’, D’C // A’B ⇒ (D’AC) // (BC’A’)
Ta có AC⊥BD,AC⊥BB′⇒AC⊥(BDB′);B′D⊂(BDB′)⇒AC⊥B′D
Mà AC // A’C’ ⇒ B′D⊥A′C′
Ta có AB′⊥A′B,AD⊥A′B⇒A′B⊥(AB′D);B′D⊂(AB′D)⇒A′B⊥B′D
Advertisements (Quảng cáo)
Mà A’B // D’C ⇒ B′D⊥D′C
Ta có B′D⊥AC,B′D⊥D′C⇒B′D⊥(D′AC)
B′D⊥A′C′,B′D⊥A′B⇒B′D⊥(BA′C′)
b) Gọi AC∩BD={O},A′C′∩B′D′={O′}
Trong (BB’D’D) nối D′O∩B′D={E},BO′∩B′D={F}
Vì (D’AC) // (BC’A’) nên d((D’AC), (BC’A’)) = d(E, (BC’A’)) = EF do B′D⊥(BA′C′)
B′D⊥BO′(B′D⊥(BA′C′))B′D⊥OD′(B′D⊥(D′AC))}⇒BO′//OD′
Áp dụng định lí Talet có DEEF=DOBO=1⇒DE=EF và B′FEF=B′O′O′D′=1⇒B′F=EF
⇒EF=B′D3
Xét tam giác ABD vuông tại A có BD=√AB2+AD2=√a2+a2=a√2
Xét tam giác BB’D vuông tại B có B′D=√BB′2+BD2=√a2+(a√2)2=a√3
⇒EF=a√33
Vậy d((D′AC),(BC′A′))=a√33