Bài 9.3 trang 86 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = - {x^2} + 4x,$ biết...

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = - {x^2} + 4x,$ biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ ${x_0} = 1;$

b) Tiếp điểm có tung độ ${y_0} = 0.$

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y - {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),$ trong đó ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right) = - 2{x_0} + 4$

Vậy hàm số $y = - {x^2} + 4x$ có đạo hàm là hàm số $y’ = - 2x + 4$

a) Ta có $y’\left( 1 \right) = - 2.1 + 4 = 2$

Ngoài ra , $f\left( 1 \right) = 3$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)$ hay $y = 2x + 1$

b) Ta có ${y_0} = 0$ nên $- x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.$

+) ${x_0} = 0,{y_0} = 0$ nên $y’\left( 0 \right) = 4$ do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 4x$

+) ${x_0} = 4,{y_0} = 0$ nên $y’\left( 4 \right) = - 4$ do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

$y = - 4\left( {x - 4} \right)$ hay $y = - 4x + 16$