Bài 9.4 trang 86 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là...

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức $h = 19,6t - 4,9{t^2}.$ Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y - {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),$ trong đó ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$f’\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{19,6t - 4,9{t^2} - 19,6{t_0} + 4,9t_0^2}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{ - 4,9\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 19,6\left( {t - {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right)}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right) = - 9,8{t_0} + 19,6$

Vậy hàm số $h = 19,6t - 4,9{t^2}$ có đạo hàm là hàm số $h’ = - 9,8{t_0} + 19,6$

Độ cao của vật khi nó chạm đất thỏa mãn $19,6t - 4,9{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.$

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là $- 9,8.4 + 19,6 = - 19,6$ (m/s)

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s.