Giải mục 2 trang 106, 107 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n}...

Hoạt động 3

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và $\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}$

Tính ${u_n} + {v_n}$ và dùng công thức $\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }\frac{1}{n}=0$

Ta có: ${u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}$

Do đó: $\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\; = 5$

${u_n}\; = 2$, ${v_n}\; = 3$

Vậy $\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}$

Luyện tập 3

Tìm $\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}$.

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

$\frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\; = \frac{{\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{n}}}\; = \frac{{\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right)\;}}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\;}} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2$.