Giải mục 2 trang 23, 24, 25 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Chứng tỏ rằng $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right), \;\forall x \in {D_f}$...

Hoạt động 2

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) = {x^3}$, với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định ${D_f},\;{D_g}$ của các hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$.

b) Chứng tỏ rằng $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\;\forall x \in {D_f}$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng $g\left( { - x} \right) = - g\left( x \right),\;\forall x \in {D_g}$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ luôn xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: ${D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}$

b) Ta có: $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)$

Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ đối xứng qua trục tung

c) Ta có: $g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} = - {x^3} = - g\left( x \right)$

Đồ thị của hàm số $y = g\left( x \right) = {x^3}$ đối xứng qua gốc tọa độ

Luyện tập

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$.

Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ 0 \right\}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $g\left( { - x} \right) = \frac{1}{{ - x}} = - \frac{1}{x} = - g\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$.

Vậy $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ

Hoạt động 3

So sánh:

a) $\sin \left( {x + 2\pi } \right)$ và $\sin x$;

b) $\cos (x + 2\pi )$ và $\cos x$;

c) $\tan \left( {x + \pi } \right)$ và $\tan x$;

d) $\cot (x + \pi )$ và $\cot x$.

Ta có:

a) $\sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x$ với mọi $x\; \in \;\mathbb{R}$

b) $\cos \left( {x + 2\pi } \right) = \cos x$ với mọi $x\; \in \;\mathbb{R}$

c) $\tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x$ với mọi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

d) $\cot \left( {x + \pi } \right) = \cot x$ với mọi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

Luyện tập 3

Xét tính tuần hoàn của hàm số $y = \tan 2x$.

Hàm số $y = \tan \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}$

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$ và với mọi số thực x, ta có:

$\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},\;\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},$

$\tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) = \tan 2x$

Vậy $y = \tan 2x\;$là hàm số tuần hoàn