Hoạt động 4
Cho hàm số \(y = \sin x\).
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) bằng cách tính giá trị của \(\sin x\) với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của \(\sin x\) với những x âm.
|
\(x\) |
\( - \pi \) |
\( - \frac{{3\pi }}{4}\) |
\( - \frac{\pi }{2}\) |
\( - \frac{\pi }{4}\) |
0 |
\(\frac{\pi }{4}\) |
\(\frac{\pi }{2}\) |
\(\frac{{3\pi }}{4}\) |
\(\pi \) |
|
\(\sin x\) |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = 2\pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \sin x\)
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) = - \sin x = - f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
b)
|
\(x\) |
\( - \pi \) |
\( - \frac{{3\pi }}{4}\) |
\( - \frac{\pi }{2}\) |
\( - \frac{\pi }{4}\) |
Advertisements (Quảng cáo) 0 |
\(\frac{\pi }{4}\) |
\(\frac{\pi }{2}\) |
\(\frac{{3\pi }}{4}\) |
\(\pi \) |
|
\(\sin x\) |
\(0\) |
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
\( - 1\) |
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
0 |
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
1 |
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
0 |
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}.\)
Luyện tập 4
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin x\).
Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Vì
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin x\) là \(T = \left[ { - 2;2} \right]\).
Vận dụng
Xét tình huống mở đầu.
a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?
Áp dụng công thức tính chu kỳ
a) Chu ký hô hấp: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\left( s \right)\)
Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là \(\frac{60}{6}=10\)(chu kì).
b) Ta có: \(v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}\)
+) v > 0 khi \(0,85\sin \frac{\pi t}{3}>0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}>0\)
Mà – 1 ≤ \(\frac{\pi t}{3}\)≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, \(0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1\).
+) v < 0 khi \(0,85\sin \frac{\pi t}{3}<0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}<0\).
Mà – 1 ≤ \(\frac{\pi t}{3}\)≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, −1 ≤ sin\(\frac{\pi t}{3}\) < 0.
+) Với t ∈ (0; 3) ta có 0 < sin\(\frac{\pi t}{3}\) ≤ 1.
+) Với t ∈ (3; 5] ta có −1 ≤ sin\(\frac{\pi t}{3}\) < 0.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.