Giải mục 2 trang 89, 90 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Dùng định nghĩa...

Hoạt động 3

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = {x^3} + {x^2}$ tại điểm x bất kì.

b) So sánh: $\left( {{x^3} + {x^2}} \right)’$ và $\left( {{x^3}} \right)’ + \left( {{x^2}} \right)’.$

- $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

- ${\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n - 1}}$

a) Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} + {x^2} - x_0^3 - x_0^2}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right) = 3x_0^2 + 2{x_0}\end{array}$

Vậy hàm số $y = {x^3} + {x^2}$ có đạo hàm là hàm số $y’ = 3{x^2} + 2x$

b) ${\left( {{x^3}} \right)^,} + {\left( {{x^2}} \right)^,} = 3{x^2} + 2x$

Do đó $\left( {{x^3} + {x^2}} \right)’$ = $\left( {{x^3}} \right)’ + \left( {{x^2}} \right)’.$

Luyện tập 1

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}};$

b) $y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right).$

- Sử dụng quy tắc $\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’;\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;{\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$

- Sử dụng công thức ${\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n - 1}};{\left( {\sqrt x } \right)^,} = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

a) $y’ = \frac{{\left( {\sqrt x } \right)’\left( {x + 1} \right) - \sqrt x \left( {x + 1} \right)’}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} - \sqrt x }}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x + 1 - 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - x + 1}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

b) $y’ = \left( {\sqrt x + 1} \right)’\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)’ = \frac{{{x^2} + 2}}{{2\sqrt x }} + \left( {\sqrt x + 1} \right).2x$