Giải mục 4 trang 91, 92 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Với $h \ne 0,$ biến đổi hiệu $\sin \left( {x + h} \right) - \sin x$ thành tích...

Hoạt động 5

a) Với $h \ne 0,$ biến đổi hiệu $\sin \left( {x + h} \right) - \sin x$ thành tích.

b) Sử dụng công thức giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} = 1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

- Công thức lượng giác $\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$

- $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

a) $\sin \left( {x + h} \right) - \sin x = 2\cos \frac{{2x + h}}{2}.\sin \frac{h}{2}$

b) Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}$

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số $y’ = \cos x$

Luyện tập 3

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right).$

Sử dụng công thức $\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u$

$y’ = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)$

Hoạt động 6

Bằng cách viết $y = \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \cos x.$

Sử dụng công thức $\left( {\sin u} \right)’ = u’.\cos u$

$y’ = \left( {\cos x} \right)’ = {\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x$

Luyện tập 4

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right).$

Sử dụng công thức $\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u$

$y’ = - 2{\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)^,}\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)$

Hoạt động 7

a) Bằng cách viết $y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \tan x.$

b) Sử dụng đẳng thức $\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ với $x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \cot x.$

- Sử dụng công thức $\left( {\sin x} \right)’ = \cos x,\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x$

- Sử dụng quy tắc ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$

a) $y’ = \left( {\tan x} \right)’ = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^,} = \frac{{\left( {\sin x} \right)’.\cos x - \sin x.\left( {\cos x} \right)’}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

b) $\left( {\cot x} \right)’ = {\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^,} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ (dựa vào ý a)

Luyện tập 5

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2{\tan ^2}x + 3\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right).$

Sử dụng công thức $\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};\\\left( {\cot u} \right)’ = - \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}$

$\begin{array}{l}y’ = 2\left( {{{\tan }^2}x} \right)’ + 3\left[ {\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)} \right]’ = 2.2\tan x.\left( {\tan x} \right)’ + 3.\frac{{ - \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)’}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\\ = 4\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\end{array}$

Vận dụng 1

Một vật chuyển động có phương trình $s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\left( m \right),$ với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

- Ý nghĩa vật lí: $v = s’$

- Công thức $\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u$

Ta có

$v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 4\left[ {\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]’ = - 4\left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)’.\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)$

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là

$v\left( 5 \right) = - 8\pi \sin \left( {10\pi - \frac{\pi }{8}} \right) \approx 9,6$(m/s)