Giải mục 3 trang 19 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Từ các công thức cộng $\cos \left( {a + b} \right)$ và $\cos \left( {a - b} \right)$...

Hoạt động 3

a) Từ các công thức cộng $\cos \left( {a + b} \right)$ và $\cos \left( {a - b} \right)$, hãy tìm: $\cos a\cos b;\sin a\sin b$.

b) Từ các công thức cộng $\sin \left( {a + b} \right)$ và $\sin \left( {a - b} \right)$, hãy tìm: $\sin a\cos b$.

a) Ta có: $\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b$

Suy ra: $\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\;$

b) Ta có: $\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \sin a\cos b - \cos a\sin b = 2\sin a\cos b$

Suy ra: $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]$

Luyện tập 3

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

$A = \cos {75^0}\cos {15^0}$;

$B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Áp dụng công thức:

$\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]$

$\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]$

$A = \cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}.\cos {60^0}.\cos {90^0} = 0$

$B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{{12}}} \right).\sin \left( {\frac{{12\pi }}{{12}}} \right) = - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\sin \pi = 0$