Hoạt động 3
a) Từ các công thức cộng \(\cos \left( {a + b} \right)\) và \(\cos \left( {a - b} \right)\), hãy tìm: \(\cos a\cos b;\sin a\sin b\).
b) Từ các công thức cộng \(\sin \left( {a + b} \right)\) và \(\sin \left( {a - b} \right)\), hãy tìm: \(\sin a\cos b\).
a) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)
Suy ra: \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\;\)
b) Ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \sin a\cos b - \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)
Suy ra: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)
Luyện tập 3
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
\(A = \cos {75^0}\cos {15^0}\);
\(B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Áp dụng công thức:
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)
\(A = \cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}.\cos {60^0}.\cos {90^0} = 0\)
\(B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{{12}}} \right).\sin \left( {\frac{{12\pi }}{{12}}} \right) = - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\sin \pi = 0\)