Giải mục 1 trang 17, 18 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$...

Hoạt động 1

a) Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) Bằng cách viết $a + b = a - \left( { - b} \right)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos \left( {a + b} \right).$

c) Bằng cách viết $\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\;$và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin \left( {a - b} \right)$.

Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.

a) Ta có: VT = $\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{6}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$VP = \cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{1 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = VT$

Vậy $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

b) Ta có: $\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a-b) = \cos a\cos \left( { - b} \right) + \sin a\sin \left( { - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$

c) Ta có: $\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b$

$= \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Luyện tập

Chứng minh rằng:

a) $\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$;

b) $\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\;$.

Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.

a) Ta có:

$\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x$

b) Ta có:

$\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;$

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu

Áp dụng công thức $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Ta có: $f\left( t \right) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = 5\sin t + 5\cos t = 5\left( {\sin t + \cos t} \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$

Suy ra: $k = 5\sqrt 2 ,\;\varphi = \frac{\pi }{4}$.