Giải mục 3 trang 83, 84 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính đạo hàm $f’\left( {{x_0}} \right)$ tại điểm ${x_0}$ bất kì trong các trường hợp sau...

Hoạt động 3

Tính đạo hàm $f’\left( {{x_0}} \right)$ tại điểm ${x_0}$ bất kì trong các trường hợp sau:

a) $f\left( x \right) = c$ (c là hằng số);

b) $f\left( x \right) = x.$

$f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

a) $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{c - c}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 0 = 0$

b) $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1$

Luyện tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {x^2} + 1;$

b) $y = kx + c$ (với k, c là các hằng số).

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f’\left( x \right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y’ = f’\left( x \right)$

a) Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{c}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 1 - \left( {x_0^2 + 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}\end{array}$

Vậy hàm số $y = {x^2} + 1$ có đạo hàm là hàm số $y’ = 2x$

b) Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{c}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{kx + c - \left( {k{x_0} + c} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{kx - k{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{k\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} k = k\end{array}$

Vậy hàm số $y = kx + c$ (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số $y’ = k$