Câu 16 trang 109 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Bài 16. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

${u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}$ với mọi $n ≥ 1$

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

${u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}$ với mọi $n ≥ 1$.

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.$

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b. Ta sẽ chứng minh ${u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}$  (1) với mọi $n ≥ 1$, bằng phương pháp qui nạp.

+) Với $n = 1$, ta có ${u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.$ Như vậy (1) đúng khi $n = 1$

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in\mathbb N^*$, tức là:

${u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}$

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với $n = k + 1$.

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

${u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}$

Vậy (1) đúng với mọi $n ≥ 1$.