Cho dãy số (un) xác định bởi. Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 2. Dãy số
Bài 17. Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 1\)
Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Ta chứng minh \(u_n= 1\) (1) \(∀ n \in \mathbb N^*\) bằng qui nạp
+) Rõ ràng (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(u_k = 1\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).
Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :
\({u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\)