Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (sn)...

Bài 18. Cho dãy số (s_n) với  ${s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.$

a. Chứng minh rằng ${s_n} = {s_{n + 3}}$ với mọi $n ≥ 1$

b. Hãy tính tổng $15$ số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải:

a. Với $n>1$ tùy ý, ta có :

$\eqalign{ & {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr & = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr & = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr & = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr}$

b. Từ kết quả phần a ta có :

$\eqalign{ & {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr & {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr & {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr}$

Từ đó suy ra :

${s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}$

Do đó :  ${S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}} = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)$

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  ${s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \Rightarrow {s_{15}} = 0$