Cho hình chóp S.ABCD.
a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì →SB+→SD=→SA+→SC−−→SB+−−→SD=−→SA+−−→SC. Điều ngược lại có đúng không ?
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi →SA+→SB+→SC+→SD=4→SO−→SA+−−→SB+−−→SC+−−→SD=4−−→SO
a. Ta có:
→SB+→SD=→SA+→SC⇔→SB−→SC=→SA−→SD⇔→CB=→DA−−→SB+−−→SD=−→SA+−−→SC⇔−−→SB−−−→SC=−→SA−−−→SD⇔−−→CB=−−→DA
⇔ ABCD là hình bình hành.
b. Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
→SA+→SB+→SC+→SD=4→SO⇔→SO+→OA+→SO+→OB+→SO+→OC+→SO+→OD=4→SO⇔→OA+→OB+→OC+→OD=→0(∗)−→SA+−−→SB+−−→SC+−−→SD=4−−→SO⇔−−→SO+−−→OA+−−→SO+−−→OB+−−→SO+−−→OC+−−→SO+−−→OD=4−−→SO⇔−−→OA+−−→OB+−−→OC+−−→OD=→0(∗)
Nếu ABCD là hình bình hành thì →OA+→OB+→OC+→OD=→0−−→OA+−−→OB+−−→OC+−−→OD=→0 suy ra
→SA+→SB+→SC+→SD=4→SO−→SA+−−→SB+−−→SC+−−→SD=4−−→SO (do (*))
Ngược lại, giả sử →SA+→SB+→SC+→SD=4→SO,−→SA+−−→SB+−−→SC+−−→SD=4−−→SO, ta có (*).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :
→OA+→OC=2→OM,→OB+→OD=2→ON
Từ (*) suy ra 2(→OM+→ON)=→0, điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng
Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.