Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 2 trang 91 Toán Hình 11 Nâng cao, Cho hình chóp...

Câu 2 trang 91 Toán Hình 11 Nâng cao, Cho hình chóp S.ABCD....

Cho hình chóp S.ABCD.. Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao - Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \)

a. Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA}  \cr} \)

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

Advertisements (Quảng cáo)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {SO}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \,\,\left( * \right) \cr} \)

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) suy ra

 \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \) (do (*))

Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} ,\) ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {ON} \)

Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 ,\) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)