Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x – 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f’\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f’\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x – 1} \right).\left[ { – \sin \left( {4x – 1} \right)} \right]4 = – 8\sin 2\left( {4x – 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f’\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x – 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x – 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x – 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)