Câu 5.27 trang 183 SBT Đại số 11 Nâng cao: Giải và biện luận phương trình...

Giải và biện luận phương trình $f’\left( x \right) = 0$ biết rằng

             $f\left( x \right) = 2\sin x + 2\left( {1 - 2m} \right)\cos x - 2mx$

Với mọi $x \in R$, ta có

$\eqalign{& f’\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\left( {1 - 2m} \right)\sin x - 2m  \cr& f’\left( x \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 2m} \right)\sin x - m = 0  \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left( {1 - 2m} \right)\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr}$

Ta có $\Delta  = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 8m + 8$

$= 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2}$

Vậy

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) - \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) + \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr}  \right.$

Giải (2), ta được

$\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi  \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi  \over 6} + k2\pi  \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

$\bullet$ Giải (3), với điều kiện $- 1 \le m - 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,$ ta được

$\sin x = m - 1 = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha  + k2\pi  \hfill \cr x = \pi  - \alpha  + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\,\,\,\,\,(5)$

Kết luận

a) Nếu $m < 0$ hoặc $m > 2$ thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có các nghiệm là (4)

b) Nếu $0 \le m \le 2$ thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có các nghiệm là (4) và (5).