Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tìm a để phương trình...

Chia sẻ
Tìm a để phương trình. Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Tìm a để phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có nghiệm, biết rằng

                        \(f\left( x \right) = a\cos x + 2\sin x – 3x + 1\)

Giải

Với mọi \(x \in R\) ta có

                \(f’\left( x \right) = a\sin x + 2\cos x – 3.\)

Để \(f’\left( x \right) = 0\) có nghiệm thì ta phải tìm a sao cho phương trình \(2\cos x – a\sin x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)   có nghiệm. Ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\cos x – {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\sin x = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \({\left( {{2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} + {\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} = 1\) nên có số \(\alpha \) sao cho\(\left\{ \matrix{\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr\sin \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr}  \right.\)

Thế vào (2), ta được : \(\cos x\cos \alpha  – \sin x\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

                                    \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} \,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi

\( – 1 \le {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \le 1 \Leftrightarrow 3 \le \sqrt {{a^2} + 4}  \Leftrightarrow {a^2} + 4 \ge 9 \)

\(\Leftrightarrow {a^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left| a \right| \ge \sqrt {5} \)