Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.22 trang 182 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hai...

Câu 5.22 trang 182 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hai hàm số. Chứng minh rằng...

Chia sẻ
Cho hai hàm số. Chứng minh rằng. Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Cho hai hàm số

                        \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)  và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)

Chứng minh rằng

                        \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)

Giải

Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{ f’\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left( { – \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x – {\cos ^2}x)  \cr& = 2\sin 2x\left( { – \cos 2x} \right) =  – \sin 4x. \cr} \)

Mặt khác ta có

    \(g’\left( x \right) = {1 \over 4}\left( { – 4\sin 4x} \right) =  – \sin 4x.\)

Vậy với mọi \(x \in R\), ta có

                        \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right).\)

Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\)  và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có

\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x  \cr& = 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 – {1 \over 2}.{{1 – \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)

Tức là  \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left( x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\)

Vậy                             \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right).\)