Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tìm các giới hạn sau...

Chia sẻ
Tìm các giới hạn sau. Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Tìm các giới hạn sau

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 3x} \over {\tan 5x}}\)                            b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\cos 2x – 1} \over {{{\sin }^2}3x}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x – \sin x} \over {{x^3}}}\)                    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)\tan x\)

Giải

a) \({3 \over 5};\)                      b) \( – {2 \over 9};\)                          c) \({1 \over 2};\)

\( \bullet \) Cách 1

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)\cot \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{\left( {{\pi  \over 2} – x} \right)} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)}}.\cos \left( {{\pi  \over 2} – x} \right) = 1 \cr} \)

(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{{\pi  \over 2} – x} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)}} = 1\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \cos \left( {{\pi  \over 2} – x} \right) = \cos 0 = 1\) )

\( \bullet \) Cách 2. Đặt \({\pi  \over 2} – x = t\)  thì khi \(x \to {\pi  \over 2}\) ta sẽ có \(t \to 0.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} – x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\tan \left( {{\pi  \over 2} – t} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\cot t = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t \over {\sin t}}.\cot t = 1.\)


Loading...