Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Tìm các giới hạn sau...

Tìm các giới hạn sau

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 3x} \over {\tan 5x}}$                            b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\cos 2x - 1} \over {{{\sin }^2}3x}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x - \sin x} \over {{x^3}}}$                    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x$

a) ${3 \over 5};$                      b) $- {2 \over 9};$                          c) ${1 \over 2};$

$\bullet$ Cách 1

$\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\cot \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{\left( {{\pi  \over 2} - x} \right)} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)}}.\cos \left( {{\pi  \over 2} - x} \right) = 1 \cr}$

(Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{{\pi  \over 2} - x} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)}} = 1$  và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \cos \left( {{\pi  \over 2} - x} \right) = \cos 0 = 1$ )

$\bullet$ Cách 2. Đặt ${\pi  \over 2} - x = t$  thì khi $x \to {\pi  \over 2}$ ta sẽ có $t \to 0.$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\tan \left( {{\pi  \over 2} - t} \right)$

$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\cot t = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t \over {\sin t}}.\cot t = 1.$