Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 4 trang 91 SGK Hình 11 Nâng cao, Cho hình hộp...

Câu 4 trang 91 SGK Hình 11 Nâng cao, Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và...

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.. Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao - Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Giải

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA’}  = \overrightarrow c .\)

Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên \(\overrightarrow {AG’}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC’}  + \overrightarrow {AD’} } \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AG}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {AD’}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow {AG’}  - \overrightarrow {AG} \cr& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {A’B}  + \overrightarrow {D’C}  + \overrightarrow {MC’}  + \overrightarrow {ND’} } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  + {1 \over 2}\overrightarrow a  + \overrightarrow c  + {1 \over 2}\overrightarrow c } \right)  \cr  &  = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow a  - \overrightarrow c } \right) = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA’} } \right) \cr} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA’} ,\overrightarrow {GG’} \) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)