Bài 2 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho ba vectơ a = 1;0; - 2, b = - 2;1;3 và...

Cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;1;3} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( { - 4;3;5} \right)$. Tìm hai số thực $m,n$ sao cho $m\overrightarrow a + n\overrightarrow {\rm{b}} = \overrightarrow c$.

‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số với một vectơ:

Nếu $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ thì $m\overrightarrow u = \left( {m{x_1};m{y_1};m{z_1}} \right)$ với $m \in \mathbb{R}$.

‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ:

Nếu $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ thì $\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2}} \right)$.

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$.

Ta có:

$\begin{array}{l}m\overrightarrow a + n\overrightarrow {\rm{b}} = \left( {m - 2n;n; - 2m + 3n} \right)\\m\overrightarrow a + n\overrightarrow {\rm{b}} = \overrightarrow c \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n = - 4\\n = 3\\ - 2m + 3n = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = 2,n = 3$ thì $m\overrightarrow a + n\overrightarrow {\rm{b}} = \overrightarrow c$.