Bài 6 trang 71 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A 2;0;2, B 4;2;4, D 2; - 2;2, C’ 8;10; - 10...

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left( {2;0;2} \right),B\left( {4;2;4} \right),D\left( {2; - 2;2} \right),C’\left( {8;10; - 10} \right)$. Tìm toạ độ điểm $A’$.

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$.

Giả sử $D\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {AD} = \left( {2 - 2; - 2 - 0;2 - 2} \right) = \left( {0; - 2;0} \right)$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {{x_C} - 4;{y_C} - 2;{z_C} - 4} \right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = 0\\{y_C} - 2 = - 2\\{z_C} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 0\\{z_C} = 4\end{array} \right.$. Vậy $C\left( {4;0;4} \right)$.

Giả sử $A’\left( {{x_{A’}};{y_{A’}};{z_{A’}}} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {AA’} = \left( {{x_{A’}} - 2;{y_{A’}};{z_{A’}} - 2} \right)$.

$\overrightarrow {CC’} = \left( {8 - 4;10 - 0; - 10 - 4} \right) = \left( {4;10; - 14} \right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} - 2 = 4\\{y_{A’}} = 10\\{z_{A’}} - 2 = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} = 6\\{y_{A’}} = 10\\{z_{A’}} = - 12\end{array} \right.$. Vậy $A’\left( {6;10; - 12} \right)$.