Bài 7 trang 17 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho a và b là hai số không âm và có tổng bằng 4...

Cho $a$ và $b$ là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của ${a^4} + {b^4}$.

Biểu diễn $b$ theo $a$, đặt điều kiện, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f\left( a \right)$ trên đoạn.

Ta có: $a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a$.

Do $a,b$ không âm nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 4 - a \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le 4$.

Ta có: ${a^4} + {b^4} = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}$.

Đặt $f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}$

Xét hàm số $f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$.

Ta có: $f’\left( a \right) = 4{a^3} - 4{\left( {4 - a} \right)^3}$

$f’\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow {a^3} = {\left( {4 - a} \right)^3} \Leftrightarrow a = 4 - a \Leftrightarrow a = 2$.

$f\left( 0 \right) = 256;f\left( 2 \right) = 32;f\left( 4 \right) = 256$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32$.

Vậy $\min \left( {{a^4} + {b^4}} \right) = 32 \Leftrightarrow a = 2$ và $b = 2$.