Bài 59 trang 13 SBT Hình 12 Nâng Cao: Các cạnh bên của hình chóp O.ABC...

Các cạnh bên của hình chóp O.ABC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng với O và ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC, còn đỉnh đối diện với O thuộc mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$

(h.41)

Giả sử hình lập phương A’HB’O.GEFC’ thỏa mãn điều kiện của bài toán và điểm E thuộc $mp\left( {ABC} \right).$

Khi đó

${V_{O.ABC}} = {V_{E.OAB}} + {V_{E.OBC}} + {V_{E.OCA}}.$

Các khối chóp E.OAB, E.OBC, E.OCA có chiều cao x bằng cạnh của khối lập phương nói trên . Bởi vậy ta có :

$\eqalign{  & {1 \over 6}abc = {1 \over 3}x\left( {{{ab} \over 2} + {{bc} \over 2} + {{ca} \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow x = {{abc} \over {ab + bc + ca}}. \cr}$

Vậy : V_{lập phương} $={x^3} = {{{a^3}{b^3}{c^3}} \over {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^3}}}.$