Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 62 trang 14 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho hình tứ...

Bài 62 trang 14 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho hình tứ diện ABCD,...

Cho hình tứ diện ABCD, Bài 62 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Ôn tập chương I – Khối đa diện và thể tích của chúng

Cho hình tứ diện ABCD.

1. Chứng minh rằng nếu chân H của đường cao hình tứ diện xuất phát từ A trùng với trực tâm của tam giác BCD và nếu \(AB \bot AC\) thì \(AC \bot AD\) và \(AD \bot AB.\)

2.Giả sử BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A, J là chân của đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = h, HJ = d. Tính thể tích của hình tứ diện ABCD theo dh.

:

1.(h.44)

Do H là trực tâm \(\Delta BCD\) nên \(BH \bot CD.\)

Mặt khác \(AH \bot (BCD)\) nên \(AH \bot CD.\)

Quảng cáo

Vậy \(CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot AB.\)

Cùng với giả thiết \(AC \bot AB\), ta suy ra \(AB \bot (ACD) \Rightarrow AB \bot AD.\)

Tương tự \(AC \bot AD.\)

2.(h.45)

Từ AB = AC = AD suy ra HB = HC = HD, tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Xét tam giác vuông AHD, ta có :

\(\eqalign{  & {1 \over {H{J^2}}} = {1 \over {A{H^2}}} + {1 \over {H{D^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {1 \over {H{D^2}}} = {1 \over {{d^2}}} – {1 \over {{h^2}}}  \cr  &  \Rightarrow HD = {{hd} \over {\sqrt {{h^2} – {d^2}} }}. \cr} \)

Do tam giác BCD đều nên \(DH = BC.{{\sqrt 3 } \over 3},\) hay \(BC = DH\sqrt 3 .\)

Vậy  \(V = {1 \over 3}{S_{BCD}}.AH = {{\sqrt 3 {d^2}{h^3}} \over {4\left( {{h^2} – {d^2}} \right)}}.\)

Quảng cáo