Câu 2.117 trang 89 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Giải các hệ phương trình sau...

a ) $\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left( {xy} \right)^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr}  \right.$

b)  $\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr}  \right.$

Giải

a) $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)$

ĐKXĐ: $xy > 0$

Áp dụng công thức ${a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}$ , phương trình đầu của hệ có thể viết thành

                                ${\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}$

Đặt $t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left( {t > 0} \right)$ ta có ${t^2} = 2 + t$. Giải phương trình ta tìm được $t =  - 1$ (loại) và $t = 2$. Từ đó ${\log _3}xy = 1$ hay $xy = 3$  

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành

                                ${\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 18 = 0$

Giải ra, ta được $x + y = 6$ và $x + y =  - 3$

Như vậy, ta có hai hệ phương trình

                                $\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.$ và $\left\{ \matrix{ x + y =  - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.$

Vậy $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)$

b) 

Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.

$\eqalign{ & \left( {1 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}x = 6 \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _2}x = 2 \hfill \cr {\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {4;3} \right),\left( {{1 \over 8}; - 2} \right)$