Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực...

Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:

a) $y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5$

b) $y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1$

c) $y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ:  D = R

  $y’ = 3{x^2} - 6x + m$

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x² – 6x + m  có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0  ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.

Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.

b) TXĐ: D = R

y’ = 3x² + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔  3x² + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 4m² -3m > 0   ó m(4m – 3) > 0

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < 0 \hfill \cr m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.$

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc $m > {3 \over 4}$ .

c) TXĐ:  D = R\{m}

$y’ = {{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5} \over {{{(x - m)}^2}}}$ 

 Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x² – 2mx + 2m² – 5  có hai nghiệm phân biệt.

⇔  ∆’ = - m² + 5 > 0 ⇔  $- \sqrt 5  < m < \sqrt 5$