Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
a) \(3(c{\rm{os x - 1) + }}{\rm{2sin x + 6x = 0}}\)
b) \(4x + c{\rm{os x - 2sin x - 2 = 0}}\)
c) \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0$\)
d) \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)
Hướng dẫn làm bài
a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.
Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
b) Đặt \(y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2\)
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R
Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\) .
Hàm số liên tục trên \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) .
Advertisements (Quảng cáo)
c) Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi - 3 > 0\), x ∈ R.
Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.
Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0
y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0
Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
d) Đặt y = x5 + x3 – 7
Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.
Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0
Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\)
Mặt khác \(y’ = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\)
=> Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\).
Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.