Trang chủ Lớp 12 SBT Toán lớp 12 (sách cũ) Bài 1.6 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh các phương...

Bài 1.6 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất...

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất. Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 - Bài 1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

a) \(3(c{\rm{os x  -  1)  + }}{\rm{2sin x  + 6x  =  0}}\)

b)  \(4x + c{\rm{os x  -  2sin x  -  2  =  0}}\)

c) \( - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0$\) 

d) \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)

Hướng dẫn làm bài

a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0,  x ∈  R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm \(x = \pi \)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Đặt \(y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2\)

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; \(y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0\) .

Hàm số liên tục trên  \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) và y’(0) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (0;\pi )\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .

Suy ra phương trình có một nghiệm \({x_0}\) .

Advertisements (Quảng cáo)

c) Đặt y =  – x3 + x2 – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, \(y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0\), x ∈ R.

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác  y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

                 y(1) = -1  +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]\) sao cho \(y({x_0}) = 0\) .

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

d) Đặt  y = x5 + x3 – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại \({x_0} \in (0;2)\) sao cho \(y({x_0}) = 0\)

Mặt khác \(y’ = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R\)

=> Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\).

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm. 

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán lớp 12 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: