Bài 1.6 trang 8 SBT Giải tích 12: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất...

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

a) $3(c{\rm{os x  -  1)  + }}{\rm{2sin x  + 6x  =  0}}$

b)  $4x + c{\rm{os x  -  2sin x  -  2  =  0}}$

c) $- {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0$$ 

d) ${x^5} + {x^3} - 7 = 0$

Hướng dẫn làm bài

a) Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈  R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0,  x ∈  R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm $x = \pi$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

b) Đặt $y = 4x + \cos x - 2\sin x - 2$

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; $y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0$ .

Hàm số liên tục trên  ${\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$ và y’(0) < 0 nên tồn tại ${x_0} \in (0;\pi )$ sao cho $y({x_0}) = 0$ .

Suy ra phương trình có một nghiệm ${x_0}$ .

c) Đặt y =  – x³ + x² – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x² + 2x – 3 < 0, $y(\pi ) = 4\pi  - 3 > 0$, x ∈ R.

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác  y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

                 y(1) = -1  +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại ${x_0} \in {\rm{[}} - 1;1]$ sao cho $y({x_0}) = 0$ .

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

d) Đặt  y = x⁵ + x³ – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại ${x_0} \in (0;2)$ sao cho $y({x_0}) = 0$

Mặt khác $y’ = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}(5{x^2} + 3) \ge 0,\forall x \in R$

=> Hàm số đồng biến trên $( - \infty ; + \infty )$.

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.