Câu 1.20 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Tìm các số thực p và q sao cho hàm số...

Tìm các số thực p và q sao cho hàm số

                                $f(x) = x + p + {q \over {x + 1}}$

Đạt cực đại tại điểm $x =  - 2{\rm{ }}$ và ${\rm{ }}f\left( { - 2} \right) =  - 2$.

Giải

Ta có

$f'(x) = 1 - {q \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$  với mọi $x \ne  - 1$

- Nếu $q \le 0$ thì $f'(x) > 0$ với mọi $x \ne  - 1$. Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ . Hàm số không có cực đại, cực tiểu.

- Nếu q > 0 thì phương trình

                                $f'(x) = {{{x^2} + 2x + 1 - q} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0$

Có hai nghiệm phân biệt ${x_1} =  - 1 - \sqrt q$ và ${x_2} =  - 1 + \sqrt q$

Hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_1} =  - 1 - \sqrt q$ và đạt cực tiểu tại điểm ${x_2} =  - 1 + \sqrt q$. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi

$- 1 - \sqrt q  =  - 2 \Leftrightarrow \sqrt q  = 1 \Leftrightarrow q = 1$

$f(-2) =  - 2 \Leftrightarrow p = 1$