Chứng minh phương trình \({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất
(Đề thi đại học năm 2004)
Hướng dẫn làm bài:
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0
=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\) .
Advertisements (Quảng cáo)
Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\) ta thấy f(x) liên tục trên R
Mặt khác, \(f(1) = - 3 < 0,f(2) = 23 > 0\)
Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại \({x_0} \in (1;2)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)
Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4
= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , \(\forall x \ge 1\)
Suy ra f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}\)