Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất...

Chứng minh phương trình ${x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0$ có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

                        x⁵ – x² – 2x – 1 = 0 ⇔  x⁵ = (x + 1)²  0   => x ≥ 0

=>  (x + 1)²  1  => x⁵  1   => x  1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc ${\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}$ .

Xét hàm số  $f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1$  ta thấy f(x) liên tục trên R

Mặt khác, $f(1) =  - 3 < 0,f(2) = 23 > 0$

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại ${x_0} \in (1;2)$ sao cho $f({x_0}) = 0$

Ta có: f’(x) = 5x⁴ – 2x – 2 = (2x⁴ – 2x) + (2x⁴ – 2) + x⁴

                     = 2x(x³ – 1) + 2(x⁴ – 1) + x⁴ > 0 , $\forall x \ge 1$

Suy ra f(x) đồng biến trên ${\rm{[}}1; + \infty {\rm{]}}$