Bài 2.16 trang 63 sách bài tập – Hình học 12: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA...

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) $\widehat {BAC} = {90^0}$             

b) $\widehat {BAC} = {60^0}$ và b = c            

c) $\widehat {BAC} = {120^0}$ và b = c

Hướng dẫn làm bài:

a) 

$\widehat {BAC} = {90^0}$. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có   OS = OA = OB = OC

Và  ${r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}$

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có $r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

b) Hình 2.37

$\widehat {BAC} = {60^0}$  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và r² = OA² = OI² + IA²

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

${r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}$ . Vậy  $r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}}$

c) Hình 2.38

$\widehat {BAC} = {120^0}$  và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120⁰ và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và ${r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}$

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính $r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}}$