Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và \Delta ‘ có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó A \in \Delta và A’ \in \Delta ‘. Gọi (\alpha ) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với \Delta ‘ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng (\alpha ) lần lượt cắt \Delta và \Delta ‘ tại M và M’ . Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (\alpha ) là M1 .
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1 . Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc\varphi = (\Delta ,\Delta ‘)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Hướng dẫn làm bài:
a) Theo giả thiết ta có: \widehat {A’M’M} = \widehat {A’AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính r = {{A’M} \over 2}
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2 , trong đó \cos \varphi = {{M{M_1}} \over {AM}} nên AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}
Do đó A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}
\Rightarrow A’M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}} = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}}
Mặt cầu tâm O có bán kính r = {{A’M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}}
Diện tích của mặt cầu tâm O là: S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A’M)^2} = \pi ({a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }})
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // \Delta nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \Delta . Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’ , có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’. Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.