Bài 2.22 trang 64 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi...

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và $(\alpha )$ bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi $(\alpha )$ và hình cầu.

b) Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng $(\alpha )$ . Theo giả thiết ta có $\widehat {OAH} = {30^0}$ .

Do đó:  $HA = OA.\cos {30^0} = r{{\sqrt 3 } \over 2}$

Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi $(\alpha )$ và hình cầu là: $S = \pi .H{A^2} = {{3\pi {r^2}} \over 4}$

b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có $OI \bot AB$ . Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.

Do đó $AI = OH = {{OA} \over 2} = {r \over 2}$ . Vậy AB = 2AI = r

Chú ý:  Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc $\widehat {OAB} = {60^0}$  nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.