Bài 2.3 trang 95 Sách bài tập Giải tích 12: Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức...

Cho a và b là các số dương.  Đơn giản các biểu thức sau:

a) ${{{a^{{4 \over 3}}}({a^{ - {1 \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}})} \over {{a^{{1 \over 4}}}({a^{{3 \over 4}}} + {a^{ - {1 \over 4}}})}}$                                                          

b) ${{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b  + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a  + \root 6 \of b }}$  

c) $(\root 3 \of a  + \root 3 \of b )({a^{{2 \over 3}}} + {b^{{2 \over 3}}} - \root 3 \of {ab} )$

d) $({a^{{1 \over 3}}} + {b^{{1 \over 3}}}):(2 + \root 3 \of {{a \over b}}  + \root 3 \of {{b \over a}} )$            

Hướng dẫn làm bài:

Với a và b là các số dương ta có:

a) ${{{a^{{4 \over 3}}}({a^{ - {1 \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}})} \over {{a^{{1 \over 4}}}({a^{{3 \over 4}}} + {a^{ - {1 \over 4}}})}} = {{a + {a^2}} \over {a + 1}} = {{a(a + 1)} \over {a + 1}} = a$ 

b) ${{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b  + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a  + \root 6 \of b }} = {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}$

$= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}({b^{{1 \over 2} - {1 \over 3}}} + {a^{{1 \over 2} - {1 \over 3}}})} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}({b^{{1 \over 6}}} + {a^{{1 \over 6}}})} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = \root 3 \of {ab}$

c) $(\root 3 \of a  + \root 3 \of b )({a^{{2 \over 3}}} + {b^{{2 \over 3}}} - \root 3 \of {ab} )$

$= ({a^{{1 \over 3}}} + {b^{{1 \over 3}}})({a^{{2 \over 3}}} - {a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}} + {b^{{2 \over 3}}})$

$= {({a^{{1 \over 3}}})^3} + {({b^{{1 \over 3}}})^3} = a + b$

d) $({a^{{1 \over 3}}} + {b^{{1 \over 3}}}):(2 + \root 3 \of {{a \over b}}  + \root 3 \of {{b \over a}} )$

$= {{{a^{{1 \over 3}}} + {b^{{1 \over 3}}}} \over {{{2\root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{a^2}}  + \root 3 \of {{b^2}} } \over {\root 3 \of {ab} }}}} = {{(\root 3 \of a  + \root 3 \of b )\root 3 \of {ab} } \over {{{(\root 3 \of a  + \root 3 \of b )}^2}}} = {{\root 3 \of {ab} } \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}$