Giải các bất phương trình sau:
a) \((2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)
b) \((2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)
c) \(2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\)
d) \(\ln (3{e^x} - 2) \le 2x\)
a) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
\(\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x - 7 > 0} \cr {\ln (x + 1) > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x - 7 < 0} \cr {\ln (x + 1) < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}\)
Vậy tập nghiệm là \(( - 1;0) \cup (\frac{7}{2}; + \infty )\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Tươngg tự câu a), tập nghiệm là \((\frac{1}{{10}};5)\)
c) Đặt \(t = {\log _2}x\) , ta có bất phương trình \(2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0\)
hay \((t + 2)(2{t^2} + t - 1) \ge 0\) có nghiệm \( - 2 \le t \le - 1\) hoặc \(t \ge \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\) hoặc \(x \ge \sqrt 2 \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \({\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\)
d) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} - 2 > 0} \cr {\ln (3{e^x} - 2) \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy tập nghiệm là \((\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty )\)