Câu 2.134 trang 92 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Cho 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh...

Cho 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh rằng

a) $\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}$                 b) ${\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = 1$  

c) Trong ba số  $\log _{{a \over b}}^2{c \over b},\log _{{c \over b}}^2{a \over c},\log _{{c \over a}}^2{b \over a}$ luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.       

Giải

a) Do ${\log _a}{b \over c} =  - {\log _a}{c \over b}$ nên $\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}$

b) ${\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = {\log _b}c{\log _c}{a^{{{\log }_a}b}} = {\log _b}c{\log _c}b = 1$

c) Từ câu a) suy ra

$\log _{{a \over b}}^2{c \over b} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c};\log _{{b \over c}}^2{a \over c} = \log _{{b \over c}}^2{c \over a};\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{c \over a}}^2{a \over b}$

Do đó $\log _{{a \over b}}^2{c \over b}.\log _{{b \over c}}^2{a \over c}\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c}\log _{{b \over c}}^2{c \over a}\log _{{c \over a}}^2{a \over b} = 1$

Vì vậy suy ra điều cần chứng minh.