Câu 2.135 trang 93 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a) ${9.243^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {2187^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}$

b) ${4^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x}} - {2^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x + 2}} =  - 4$

c) ${\left| {2005 - x} \right|^{2006}} + {\left| {2006 - x} \right|^{2005}} = 1$

d) ${3^x} - {3^{ - x}} = \root 3 \of {8 - {x^2}}$

Giải

a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3.

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} \over {x - 3}}}} \cr & \Leftrightarrow 2 + {{5\left( {x + 5} \right)} \over {x - 7}} = {{7.\left( {x + 17} \right)} \over {x - 3}} \cr}$

Giải ra ta được: $x=10$

b) Đặt $t = {2^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x}}$ ( với t > 0) ta có: 

$\eqalign{ & {t^2} - 4t + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} - x = 1 \cr}$

Giải ra ta được: $x = 2$

c) 

 Nhận xét  $x = 2005$ và $x = 2006$ là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau :

$\bullet$ Với $x < 2005$ hoặc $x > 2006$, dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải.

$\bullet$ Với $2005 < x < 2006$ thì $0 < \left| {2005 - x} \right| < 1,0 < \left| {2006 - x} \right| < 1$

Do đó ${\left| {2005 - x} \right|^{2006}} < \left| {2005 - x} \right| = x - 2005$

          ${\left| {2006 - x} \right|^{2005}} < \left| {2006 - x} \right| = 2006 - x$

Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải.

d) $x = 0$

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2.