Câu 3.29 trang 186 sách bài tập - Giải tích 12: Tính các tích phân sau:...

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx$                                           

b) $\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx$

c) $\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln (x + 1)dx$                                 

d) $\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx$

Hướng dẫn làm bài

a) ${1 \over 4}(1 + {\pi  \over 4})$  . HD: ${{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x$

b) ${1 \over 2}\ln {{(e - 1)(\sqrt e  + 1)} \over {(e + 1)(\sqrt e  - 1)}}$  . HD:${{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}({{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}})$

c) ${1 \over 2}({\ln ^2}2 - \ln 2 + 1)$ . HD: ${{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1) = {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}} + {{\ln (x + 1)} \over {{{(x + 1)}^2}}}$

d) ${\pi  \over 4} + \ln (1 + {\pi  \over 4}) - {1 \over 2}\ln 2$ .

HD: ${{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}$  và $d(x\sin x + \cos x) = x\cos xdx$