Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\) . Hãy tính:
a) \(z_1^2 + z_2^2\) b) \(z_1^3 + z_2^3\)
c) \(z_1^4 + z_2^4\) d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\)
Hướng dẫn làm bài
Ta có: \({z_1} + {z_2} = – {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\) . Từ đó suy ra:
a) \(z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} – 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} – 3 = – {9 \over 4}\)
b) \(z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 – {z_1}{z_2} + z_2^2)\)
\(= – {{\sqrt 3 } \over 2}( – {9 \over 4} – {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}\)
c) \(z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) – 2z_1^2.z_2^2 = {( – {9 \over 4})^2} – 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}\)
d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ – {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} = – {3 \over 2}\).