Câu 4.27 trang 210 sách bài tập - Giải tích 12: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy...

 Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình $2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0$ . Hãy tính:

a) $z_1^2 + z_2^2$                             b) $z_1^3 + z_2^3$           

c) $z_1^4 + z_2^4$                          d) ${{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}$

Hướng dẫn làm bài

Ta có: ${z_1} + {z_2} =  - {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}$  . Từ đó suy ra:

a) $z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} - 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} - 3 =  - {9 \over 4}$

b) $z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2)$

$=  - {{\sqrt 3 } \over 2}( - {9 \over 4} - {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}$

c) $z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) - 2z_1^2.z_2^2 = {( - {9 \over 4})^2} - 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}$

d) ${{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ - {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} =  - {3 \over 2}$.