Bài 9 trang 37 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho...

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức $a{b^2}$ đạt giá trị lớn nhất

Tìm biểu thức liên hệ của a theo b hoặc ngược lại. Sau đó lập hàm số theo a hoặc b, lập bảng biến thiên và quan sát

Ta có: a, b > 0 và a + b = 10

a) Đặt: $f(a) = ab = a(10 - a) = - {a^2} + 10a$

$f'(a) = - 2a + 10 = 0 \Leftrightarrow a = 5$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 25$

Vậy để biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất là 25 thì a = 5 và b = 5

b) Đặt: $f(a) = {a^2} + {b^2} = {a^2} + {(10 - a)^2} = 2{a^2} - 20a + 100$

$f'(a) = 4a - 20 = 0 \Leftrightarrow a = 5$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 50$

Vậy để biểu thức ${a^2} + {b^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là 50 thì a = 5 và b = 5

c) Đặt: $f(a) = a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a$

$f'(a) = 3{a^2} - 40a + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{3}\\a = 10\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(\frac{{10}}{3}) = \frac{{4000}}{{27}}$

Vậy để biểu thức $a{b^2}$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{4000}}{{27}}$ thì a = $\frac{{10}}{3}$ và b = $\frac{{20}}{3}$