Giải mục 4 trang 48,49,50 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\ u$ và $\ v$ trong không...

Khám phá5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ trong không gian?

Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ trong không gian

a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó góc $\widehat {BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó góc $\widehat {BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

Thực hành8

Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 48

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc $(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B’D’} ),(\overrightarrow {A’A} ,\overrightarrow {CB’} )$

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó góc $\widehat {BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

Góc $(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B’D’} )$ = góc $(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )$=$90^\circ$ (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)

Góc $(\overrightarrow {A’A} ,\overrightarrow {CB’} )$ = góc $(\overrightarrow {A’A} ,\overrightarrow {DA’} )$ = $\widehat {AA’D} = 45^\circ$

Khám phá6

Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 49

Trong không gian, cho $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ thoả mãn $|\overrightarrow u | = 2$ , $|\overrightarrow v | = 3$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$, $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$ (Hình 24). Giả sử $\widehat {BAC} = 60^\circ$

a) Tính góc $(\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

a) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó góc $\widehat {BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$

a) Góc $(\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$ = $\widehat {BAC} = 60^\circ$

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ = $AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3$

Thực hành9

Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 50

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A’C’}$, $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC’}$

b) Tính góc $(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC’} )$ (kết quả làm tròn đến phút)

a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó góc $\widehat {BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A’C’} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 1.\sqrt 2 .\cos 45^\circ = \frac{1}{2}$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB’} = 0$ vì $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BB’}$

b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:

$AC = \sqrt 2$; CC’ = 1 => $\tan (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC’} ) = \tan \widehat {C’AC} = \frac{{CC’}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {C’AC} = 45^\circ$

Vận dụng4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $30^\circ$ (Hình 26).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow g$ có độ lớn 9,8$m/{s^2}$

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow F$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ được tính bởi công thức $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d$. Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg

b) Công thức tính công: $A = Fs\cos \alpha$

a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: $P = mg\cos 60^\circ = 25.9,8.\frac{1}{2} = 122,5N$

b) Công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = Pd\cos 60^\circ = 122,5.3,5.\frac{1}{2} = 214,375J$